Calculer x**n le plus rapidement possible#

C’est un exercice courant lors des entretiens d’embauche. Il faut savoir ce qu’est la dichotomie et la notation binaire d’un nombre.

Enoncé#

Comme $n$ est entier, la façon la plus simple est de calculer $x \times x \times ... \times x$ mais existe-t-il plus rapide que cela ?

Solution#

L’idée de départ consiste à écrire $x^{2n}=(x^n)^2$ . En extrapolant, on en déduit que si $n=2^k$ , alors le coût du calcul de $x^n$ consistera en $k$ itérations en on $2^k$ .

[1]:

def puissance2k(x, k):
    while k > 0:
        x *= x
        k -= 1
    return x


for i in range(0, 4):
    print("2^(2^{0})=2^{1}={2}".format(i, 2**i, puissance2k(2, i)))

2^(2^0)=2^1=2
2^(2^1)=2^2=4
2^(2^2)=2^4=16
2^(2^3)=2^8=256

Lorsque $n$ n’est pas une puissance de 2, il suffit que le décomposer en écriture binaire. Si $n = \sum_k a_k 2^k$ , avec $a_k \in \{0,1\}$ , alors $x^n = \prod_k x^{a_k 2^k}$ .

[2]:

def puissance(x, n):
    r = 1
    while n > 0:
        if n % 2 == 1:
            r *= x
        x *= x
        n //= 2
    return r


for i in range(0, 9):
    print("2^{0}={1}".format(i, puissance(2, i)))

2^0=1
2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32
2^6=64
2^7=128
2^8=256

[ ]:

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