Corrélations non linéaires

Les corrélations indiquent si deux variables sont linéairement équivalentes. Comment étendre cette notion à des variables liées mais pas de façon linéaire.

%matplotlib inline

Un exemple

from sklearn import datasets

iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
Y = iris.target
import pandas

df = pandas.DataFrame(X)
df.columns = ["X1", "X2", "X3", "X4"]
df.head()

	X1	X2	X3	X4
0	5.1	3.5	1.4	0.2
1	4.9	3.0	1.4	0.2
2	4.7	3.2	1.3	0.2
3	4.6	3.1	1.5	0.2
4	5.0	3.6	1.4	0.2

import seaborn as sns

sns.set()
sns.pairplot(df);

Et les corrélations :

df.corr()

	X1	X2	X3	X4
X1	1.000000	-0.117570	0.871754	0.817941
X2	-0.117570	1.000000	-0.428440	-0.366126
X3	0.871754	-0.428440	1.000000	0.962865
X4	0.817941	-0.366126	0.962865	1.000000

Un peu de théorie

Le coefficient de corrélation de Pearson est calculé comme suit :

\[cor(X_i, X_j) = \frac{cov(X_i, Y_i)}{\sigma(X_i)\sigma(X_j)}\]

Lorsque les variables sont centrées \(\mathbb{E}X_i=\mathbb{E}X_j=0\), cette formule devient :

\[cor(X_i, X_j) = \frac{\mathbb{E}(X_i X_j)}{\sqrt{\mathbb{E}X_i^2 \mathbb{E}X_j^2}}\]

Lorsque les variables sont réduites \(\mathbb{E}X_i^2=\mathbb{E}X_j^2=1\), cette formule devient \(cor(X_i, X_j) = \mathbb{E}(X_i X_j)\). Admettons maintenant que l’on cherche à trouver le coefficient \(\alpha_{ij}\) qui minimise la variance du bruit \(\epsilon_{ij}\) :

\[X_j = \alpha_{ij}X_i + \epsilon_{ij}\]

Le coefficient \(\alpha_{ij}\) est le résultat d’une régression linéaire qui minimise \(\mathbb{E}(X_j - \alpha_{ij}X_i)^2\). Si les variables \(X_i\), \(X_j\) sont centrées et réduites : \(\alpha_{ij}^* = \mathbb{E}(X_i X_j) = cor(X_i, X_j)\). On étend cette définition dans le cas d’une fonction paramétrable \(f\) : \(f(\omega, X) \rightarrow \mathbb{R}\) et d’une régression non linéaire. On suppose que les paramètres \(\omega^*\) minimisent la quantité \(\min_\omega (X_j - f(\omega, X_i))^2\). On écrit alors \(X_j = \alpha_{ij} \frac{f(\omega^*, X_i)}{\alpha_{ij}} + \epsilon_{ij}\) et on choisit \(\alpha_{ij}\) de telle sorte que \(\mathbb{E}\left(\frac{f(\omega^*, X_i)^2}{\alpha_{ij}^2}\right) = 1\). On définit la corrélation non linéaire au sens de \(f\) :

\[cor^f(X_i, X_j) = \sqrt{ \mathbb{E} (f(\omega, X_i)^2 )}\]

On vérifie que ce coefficient est compris entre [0, 1]. Il est positif de manière évidente. Il est également inférieur à 1, si cela n’était pas le cas, nous pourrions construire une fonction \(f(\omega^*, X)+c\) qui est une meilleur solution pour le programme de minimisation. Ce nombre ressemble à une corrélation à ceci près qu’elle ne peut être négative.

Vérifications

Tout d’abord le cas linéaire :

from sklearn.preprocessing import scale
import numpy


def correlation_etendue(df, model, **params):
    cor = df.corr()
    df = scale(df)
    for i in range(cor.shape[0]):
        xi = df[:, i : i + 1]
        for j in range(cor.shape[1]):
            mod = model(**params)
            xj = df[:, j]
            mod.fit(xi, xj)
            v = mod.predict(xi)
            c = numpy.std(v)
            cor.iloc[i, j] = c
    return cor


from sklearn.linear_model import LinearRegression

cor = correlation_etendue(df, LinearRegression, fit_intercept=False)
cor

	X1	X2	X3	X4
X1	1.000000	0.117570	0.871754	0.817941
X2	0.117570	1.000000	0.428440	0.366126
X3	0.871754	0.428440	1.000000	0.962865
X4	0.817941	0.366126	0.962865	1.000000

On affiche à nouveau les corrélations qui sont identiques au signe près.

df.corr()

	X1	X2	X3	X4
X1	1.000000	-0.117570	0.871754	0.817941
X2	-0.117570	1.000000	-0.428440	-0.366126
X3	0.871754	-0.428440	1.000000	0.962865
X4	0.817941	-0.366126	0.962865	1.000000

Et le cas non linéaire :

from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor

cor = correlation_etendue(df, DecisionTreeRegressor)
cor

	X1	X2	X3	X4
X1	1.000000	0.544441	0.915847	0.879583
X2	0.418274	1.000000	0.591839	0.539524
X3	0.937056	0.789727	1.000000	0.978332
X4	0.846161	0.761652	0.980005	1.000000

from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor

cor = correlation_etendue(df, RandomForestRegressor, n_estimators=10)
cor

	X1	X2	X3	X4
X1	0.997552	0.556704	0.920643	0.886171
X2	0.426675	0.989691	0.574984	0.584174
X3	0.943419	0.796293	0.999273	0.961729
X4	0.848300	0.764006	0.973200	0.999983

Overfitting

Ces chiffres sont beaucoup trop optimistes. Les modèles de machine learning peuvent tout à fait faire de l’overfitting. Il faut améliorer la fonction en divisant en apprentissage et test plusieurs fois. Il faut également tenir compte de l’erreur de prédiction. On rappelle que :

\[X_j = \alpha_{ij} \frac{f(\omega^*, X_i)}{\alpha_{ij}} + \epsilon_{ij} = cor^f(X_i, X_j) \frac{f(\omega^*, X_i)}{\sqrt{ \mathbb{E} (f(\omega, X_i)^2 )}} + \epsilon_{ij}\]

Or \(\mathbb{E}(X_j^2)=1\) et on suppose que les bruits ne sont pas corrélées linéairement aux \(f(\omega^*, X_i)\). On en déduit que \(cor^f(X_i, X_j) = \sqrt{ 1 - \mathbb{E}\epsilon_{ij}^2}\).

from sklearn.model_selection import train_test_split


def correlation_cross_val(df, model, draws=5, **params):
    cor = df.corr()
    df = scale(df)
    for i in range(cor.shape[0]):
        xi = df[:, i : i + 1]
        for j in range(cor.shape[1]):
            xj = df[:, j]
            mem = []
            for k in range(draws):
                xi_train, xi_test, xj_train, xj_test = train_test_split(
                    xi, xj, test_size=0.5
                )
                mod = model(**params)
                mod.fit(xi_train, xj_train)
                v = mod.predict(xi_test)
                c = 1 - numpy.var(v - xj_test)
                mem.append(max(c, 0) ** 0.5)
            cor.iloc[i, j] = sum(mem) / len(mem)
    return cor


cor = correlation_cross_val(df, LinearRegression, fit_intercept=False, draws=20)
cor

	X1	X2	X3	X4
X1	1.000000	0.153927	0.874786	0.814982
X2	0.161970	1.000000	0.379941	0.323331
X3	0.866726	0.445584	1.000000	0.964216
X4	0.816849	0.405212	0.962288	1.000000

cor = correlation_cross_val(df, DecisionTreeRegressor)
cor

	X1	X2	X3	X4
X1	0.998862	0.000000	0.857959	0.790670
X2	0.089174	0.996104	0.317962	0.064916
X3	0.865524	0.494974	0.999227	0.952608
X4	0.716008	0.611972	0.962378	0.999387

cor = correlation_cross_val(df, RandomForestRegressor, n_estimators=10)
cor

	X1	X2	X3	X4
X1	0.997563	0.036807	0.868202	0.809539
X2	0.007906	0.996846	0.353607	0.150800
X3	0.880475	0.547980	0.999167	0.956861
X4	0.738863	0.591124	0.966500	0.999798

Les résultats sont assez fluctuants lorsque les données sont mal corrélées. On remarque également que la matrice n’est plus nécessairement symmétrique.

import matplotlib.pyplot as plt


def pairplot_cross_val(data, model=None, ax=None, **params):
    if ax is None:
        fig, ax = plt.subplots(
            data.shape[1], data.shape[1], figsize=params.get("figsize", (10, 10))
        )
    if "figsize" in params:
        del params["figsize"]
    if model is None:
        from sklearn.linear_model import LinearRegression

        model = LinearRegression

    df = scale(data)
    cor = numpy.corrcoef(df.T)
    for i in range(cor.shape[0]):
        xi = df[:, i : i + 1]
        for j in range(cor.shape[1]):
            xj = df[:, j]
            xi_train, xi_test, xj_train, xj_test = train_test_split(
                xi, xj, test_size=0.5
            )
            mod = model(**params)
            mod.fit(xi_train, xj_train)
            v = mod.predict(xi_test)
            mod = model(**params)
            mod.fit(xi_test, xj_test)
            v2 = mod.predict(xi_train)
            ax[i, j].plot(xj_test, v, ".")
            ax[i, j].plot(xj_train, v2, ".")
            if j == 0:
                ax[i, j].set_ylabel(data.columns[i])
            if i == data.shape[1] - 1:
                ax[i, j].set_xlabel(data.columns[j])
            mi = min(min(xj_test), min(v), min(xj_train), min(v2))
            ma = max(max(xj_test), max(v), max(xj_train), max(v2))
            ax[i, j].plot([mi, ma], [mi, ma], "--")
    return ax


ax = pairplot_cross_val(df)
ax;

ax = pairplot_cross_val(df, model=DecisionTreeRegressor)
ax;

ax = pairplot_cross_val(df, model=RandomForestRegressor, n_estimators=10)
ax;

from sklearn.neighbors import KNeighborsRegressor

ax = pairplot_cross_val(df, model=KNeighborsRegressor)
ax;

Corrélations de variables catégorielles

C’est le problème épineux si on se restreint au linéaire. Cela n’a pas trop de sens d’affecter une valeur à chaque catégorie et la corrélation de deux variables binaires (des modalités) est toujours étrange car il n’y a que deux valeurs possibles.

\[cov(X,Y) = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)(Y - \mathbb{E}Y)\right] = \mathbb{E}(XY) - \mathbb{E}X\mathbb{E}Y = \mathbb{P}(X=1 \, et \, Y=1) - \mathbb{E}X\mathbb{E}Y\]

Dans le cas de variables binaires générées de modalités de la même variables catégorielles, le premier terme est toujours nul puisque les modalités sont exclusives et la corrélation est toujours négative.

import random

ex = numpy.zeros((100, 2))
for i in range(ex.shape[0]):
    h = random.randint(0, ex.shape[1] - 1)
    ex[i, h] = 1
ex[:5]

array([[0., 1.],
       [0., 1.],
       [0., 1.],
       [1., 0.],
       [0., 1.]])

numpy.corrcoef(ex.T)

array([[ 1., -1.],
       [-1.,  1.]])

import random

ex = numpy.zeros((100, 3))
for i in range(ex.shape[0]):
    h = random.randint(0, ex.shape[1] - 1)
    ex[i, h] = 1
ex[:5]
numpy.corrcoef(ex.T)

array([[ 1.        , -0.59969254, -0.46164354],
       [-0.59969254,  1.        , -0.4330127 ],
       [-0.46164354, -0.4330127 ,  1.        ]])

Supposons maintenant que nous avons deux variables catégorielles très proches :

• \(X_1\) est une couleur rouge, bleu, gris.

• \(X_2\) est une nuance rose, orange, cyan, magenta, blanc noir.

c1 = ["rouge", "bleu", "gris"]
c2 = ["rose", "orange", "cyan", "magenta", "blanc", "noir"]
ind = [random.randint(0, 2) for i in range(100)]
x1 = [c1[i] for i in ind]
x2 = [c2[i * 2 + random.randint(0, 1)] for i in ind]
df = pandas.DataFrame(dict(X1=x1, X2=x2))
df.head()

	X1	X2
0	rouge	rose
1	gris	blanc
2	gris	blanc
3	gris	noir
4	bleu	magenta

On peut évidemment transformer en entier.

dummies = pandas.get_dummies(df)
dummies.head()

	X1_bleu	X1_gris	X1_rouge	X2_blanc	X2_cyan	X2_magenta	X2_noir	X2_orange	X2_rose
0	False	False	True	False	False	False	False	False	True
1	False	True	False	True	False	False	False	False	False
2	False	True	False	True	False	False	False	False	False
3	False	True	False	False	False	False	True	False	False
4	True	False	False	False	False	True	False	False	False

dummies.corr()

	X1_bleu	X1_gris	X1_rouge	X2_blanc	X2_cyan	X2_magenta	X2_noir	X2_orange	X2_rose
X1_bleu	1.000000	-0.488085	-0.394383	-0.333096	0.524750	0.776643	-0.254322	-0.236067	-0.263286
X1_gris	-0.488085	1.000000	-0.609560	0.682455	-0.256123	-0.379068	0.521061	-0.364866	-0.406936
X1_rouge	-0.394383	-0.609560	1.000000	-0.415997	-0.206952	-0.306295	-0.317618	0.598572	0.667590
X2_blanc	-0.333096	0.682455	-0.415997	1.000000	-0.174792	-0.258697	-0.268260	-0.249004	-0.277716
X2_cyan	0.524750	-0.256123	-0.206952	-0.174792	1.000000	-0.128698	-0.133456	-0.123876	-0.138159
X2_magenta	0.776643	-0.379068	-0.306295	-0.258697	-0.128698	1.000000	-0.197518	-0.183340	-0.204479
X2_noir	-0.254322	0.521061	-0.317618	-0.268260	-0.133456	-0.197518	1.000000	-0.190117	-0.212039
X2_orange	-0.236067	-0.364866	0.598572	-0.249004	-0.123876	-0.183340	-0.190117	1.000000	-0.196818
X2_rose	-0.263286	-0.406936	0.667590	-0.277716	-0.138159	-0.204479	-0.212039	-0.196818	1.000000

Ca ne dit pas grand-chose.

from sklearn.preprocessing import LabelEncoder

enc = LabelEncoder()
df["X1e"] = enc.fit_transform(df["X1"])
df["X2e"] = enc.fit_transform(df["X2"])
df.head()

	X1	X2	X1e	X2e
0	rouge	rose	2	5
1	gris	blanc	1	0
2	gris	blanc	1	0
3	gris	noir	1	3
4	bleu	magenta	0	2

df.select_dtypes(exclude=["object"]).corr()

	X1e	X2e
X1e	1.000000	0.644442
X2e	0.644442	1.000000

Ca ne veut toujours pas dire grand-chose. Et si on change la première colonne en permutant les lables :

df["X1e"] = df["X1e"].apply(lambda i: (i + 1) % 3)
df.head()

	X1	X2	X1e	X2e
0	rouge	rose	0	5
1	gris	blanc	2	0
2	gris	blanc	2	0
3	gris	noir	2	3
4	bleu	magenta	1	2

df.select_dtypes(exclude=["object"]).corr()

	X1e	X2e
X1e	1.000000	-0.777554
X2e	-0.777554	1.000000

La corrélation linéaire sur des variables catégorielles n’a pas de sens. Essayons avec un arbre de décision. C’est le modèle adéquat pour ce type de valeur discrètes :

cor = correlation_cross_val(df[["X1e", "X2e"]], DecisionTreeRegressor)
cor

	X1e	X2e
X1e	1.0	0.786412
X2e	1.0	1.000000

Et si on permute le premier label :

df["X1e"] = df["X1e"].apply(lambda i: (i + 1) % 3)
correlation_cross_val(df[["X1e", "X2e"]], DecisionTreeRegressor)

	X1e	X2e
X1e	1.0	0.828978
X2e	1.0	1.000000

Même résultat qui s’interprète de la sorte :

• La variable X1e se déduit de X2e (car cor(X2e, X1e) = 1).

• La variable X2e et fortement lié à X2e.

La valeur numérique choisie pour représente la variable catégorielle n’a pas d’impact sur les résultats.

ax = pairplot_cross_val(df[["X1e", "X2e"]], model=DecisionTreeRegressor)
ax;

Et sur un jeu de données plus complet.

from sklearn.datasets import load_diabetes

df = load_diabetes()
df = pandas.DataFrame(df.data, columns=df.feature_names)
df.head()

	age	sex	bmi	bp	s1	s2	s3	s4	s5	s6
0	0.038076	0.050680	0.061696	0.021872	-0.044223	-0.034821	-0.043401	-0.002592	0.019907	-0.017646
1	-0.001882	-0.044642	-0.051474	-0.026328	-0.008449	-0.019163	0.074412	-0.039493	-0.068332	-0.092204
2	0.085299	0.050680	0.044451	-0.005670	-0.045599	-0.034194	-0.032356	-0.002592	0.002861	-0.025930
3	-0.089063	-0.044642	-0.011595	-0.036656	0.012191	0.024991	-0.036038	0.034309	0.022688	-0.009362
4	0.005383	-0.044642	-0.036385	0.021872	0.003935	0.015596	0.008142	-0.002592	-0.031988	-0.046641

df.corr()

	age	sex	bmi	bp	s1	s2	s3	s4	s5	s6
age	1.000000	0.173737	0.185085	0.335428	0.260061	0.219243	-0.075181	0.203841	0.270774	0.301731
sex	0.173737	1.000000	0.088161	0.241010	0.035277	0.142637	-0.379090	0.332115	0.149916	0.208133
bmi	0.185085	0.088161	1.000000	0.395411	0.249777	0.261170	-0.366811	0.413807	0.446157	0.388680
bp	0.335428	0.241010	0.395411	1.000000	0.242464	0.185548	-0.178762	0.257650	0.393480	0.390430
s1	0.260061	0.035277	0.249777	0.242464	1.000000	0.896663	0.051519	0.542207	0.515503	0.325717
s2	0.219243	0.142637	0.261170	0.185548	0.896663	1.000000	-0.196455	0.659817	0.318357	0.290600
s3	-0.075181	-0.379090	-0.366811	-0.178762	0.051519	-0.196455	1.000000	-0.738493	-0.398577	-0.273697
s4	0.203841	0.332115	0.413807	0.257650	0.542207	0.659817	-0.738493	1.000000	0.617859	0.417212
s5	0.270774	0.149916	0.446157	0.393480	0.515503	0.318357	-0.398577	0.617859	1.000000	0.464669
s6	0.301731	0.208133	0.388680	0.390430	0.325717	0.290600	-0.273697	0.417212	0.464669	1.000000

On dessine les 5 premières variables. On voit que la variable CHAS est binaire.

sns.pairplot(df[df.columns[:6]]);

correlation_cross_val(df, DecisionTreeRegressor)

	age	sex	bmi	bp	s1	s2	s3	s4	s5	s6
age	0.999796	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
sex	0.164976	1.000000	0.164644	0.250477	0.045777	0.111387	0.369474	0.252741	0.182065	0.180895
bmi	0.000000	0.000000	0.998916	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
bp	0.000000	0.000000	0.000000	0.999504	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.032632	0.000000
s1	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.999636	0.812438	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
s2	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.768708	0.997999	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
s3	0.000000	0.079495	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.999542	0.719799	0.157711	0.000000
s4	0.053803	0.104578	0.285713	0.000000	0.375567	0.613688	0.728683	0.998655	0.554312	0.285438
s5	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.127121	0.999332	0.000000
s6	0.000000	0.000000	0.000000	0.053945	0.013372	0.000000	0.000000	0.000000	0.047138	0.999331

pairplot_cross_val(df[df.columns[:6]], model=DecisionTreeRegressor, figsize=(16, 16));

On regarde en pariculier les variables TAX, RAD, PTRATIO.

sns.pairplot(df[["s1", "s2", "bmi"]]);

df[["s1", "s2", "bmi"]].corr()

	s1	s2	bmi
s1	1.000000	0.896663	0.249777
s2	0.896663	1.000000	0.261170
bmi	0.249777	0.261170	1.000000

pairplot_cross_val(df[["s1", "s2", "bmi"]], model=DecisionTreeRegressor);

correlation_cross_val(df[["s1", "s2", "bmi"]], DecisionTreeRegressor)

	s1	s2	bmi
s1	0.999550	0.809505	0.00000
s2	0.783178	0.997555	0.00000
bmi	0.000000	0.000000	0.99898

Les variables sont toutes trois liées de façon non linéaire.

Maximal information coefficient

Cette approche est plutôt pragmatique mais peut se révéler coûteuse en terme de calculs. Elle permet aussi de comprendre qu’un coefficient de corrélation dépend des hypothèses qu’on choisi pour les données. On peut toujours construire un coefficient de corrélation qui soit égal à 1 mais il correspond à toujours à un phénomène qu’on souhaite étudier. La corrélation linéaire recherche des relations linéaires. On peut chercher une relation polynomiale. Les arbres de décision recherche une corrélation construite à partir de fonction en escalier. Plus la relation a de degré de liberté, plus le coefficient a de chance de tendre vers 1, moins il a de chance d’être aussi élevé sur de nouvelles données.

Cela permet néanmoins de mieux comprendre les avantages et les inconvénients de métriques du type MIC ou Maximal information coefficient. Plus de détails sont disponibles dans cet article : Equitability, mutual information, and the maximal information coefficient. Le module minepy implémente cette métrique ainsi que d’autres qui poursuivent le même objectif. L’information mutuelle est définie comme ceci pour deux variables discrètes :

\[MI(X,Y) = \sum_{x\in\mathcal{X}}\sum_{y\in\mathcal{Y}}p(x,y)\ln_2\frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\]

La fonction \(p(x,y)\) définit la distribution conjointe des deux variables, \(p(x)\), \(p(y)\) les deux probabilités marginales. Il existe une extension pour les variables continues :

\[MIC(X,Y) = \int_{x\in\mathcal{X}}\in_{y\in\mathcal{Y}}p(x,y)\ln_2\frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}dxdy\]

Une façon de calculer une approximation du coefficient \(MIC(x,y)\) est de discrétiser les deux variables \(X\) et \(Y\) ce qu’on fait en appliquant un algorithme similaire à celui utilisé pour construire un arbre de décision à ceci près que qu’il n’y a qu’une seule variable et que la variable à prédire est elle-même.

L’information mutuelle est inspiré de la distance de Kullback-Leiber qui est une distance entre deux probabilités qui sont ici la disribution du couple \((X,Y)\) et la distribution que ce couple aurait si les deux variables étaient indépendantes, c’est à dire le produit de leur distribution.

%matplotlib inline

import numpy as np


rs = np.random.RandomState(seed=0)


def mysubplot(x, y, numRows, numCols, plotNum, xlim=(-4, 4), ylim=(-4, 4)):
    r = np.around(np.corrcoef(x, y)[0, 1], 1)

    # début ajout
    df = pandas.DataFrame(dict(x=x, y=y))
    cor = correlation_cross_val(df, DecisionTreeRegressor)
    dt = max(cor.iloc[1, 0], cor.iloc[0, 1])

    ax = plt.subplot(numRows, numCols, plotNum, xlim=xlim, ylim=ylim)
    ax.set_title("Pearson r=%.1f\nDT=%.1f" % (r, dt), fontsize=10)
    ax.set_frame_on(False)
    ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)
    ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)
    ax.plot(x, y, ",")
    ax.set_xticks([])
    ax.set_yticks([])
    return ax


def rotation(xy, t):
    return np.dot(xy, [[np.cos(t), -np.sin(t)], [np.sin(t), np.cos(t)]])


def mvnormal(n=1000):
    cors = [1.0, 0.8, 0.4, 0.0, -0.4, -0.8, -1.0]
    for i, cor in enumerate(cors):
        cov = [[1, cor], [cor, 1]]
        xy = rs.multivariate_normal([0, 0], cov, n)
        mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, i + 1)


def rotnormal(n=1000):
    ts = [
        0,
        np.pi / 12,
        np.pi / 6,
        np.pi / 4,
        np.pi / 2 - np.pi / 6,
        np.pi / 2 - np.pi / 12,
        np.pi / 2,
    ]
    cov = [[1, 1], [1, 1]]
    xy = rs.multivariate_normal([0, 0], cov, n)
    for i, t in enumerate(ts):
        xy_r = rotation(xy, t)
        mysubplot(xy_r[:, 0], xy_r[:, 1], 3, 7, i + 8)


def others(n=1000):
    x = rs.uniform(-1, 1, n)
    y = 4 * (x**2 - 0.5) ** 2 + rs.uniform(-1, 1, n) / 3
    mysubplot(x, y, 3, 7, 15, (-1, 1), (-1 / 3, 1 + 1 / 3))

    y = rs.uniform(-1, 1, n)
    xy = np.concatenate((x.reshape(-1, 1), y.reshape(-1, 1)), axis=1)
    xy = rotation(xy, -np.pi / 8)
    lim = np.sqrt(2 + np.sqrt(2)) / np.sqrt(2)
    mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, 16, (-lim, lim), (-lim, lim))

    xy = rotation(xy, -np.pi / 8)
    lim = np.sqrt(2)
    mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, 17, (-lim, lim), (-lim, lim))

    y = 2 * x**2 + rs.uniform(-1, 1, n)
    mysubplot(x, y, 3, 7, 18, (-1, 1), (-1, 3))

    y = (x**2 + rs.uniform(0, 0.5, n)) * np.array([-1, 1])[rs.randint(0, 1, size=n)]
    mysubplot(x, y, 3, 7, 19, (-1.5, 1.5), (-1.5, 1.5))

    y = np.cos(x * np.pi) + rs.uniform(0, 1 / 8, n)
    x = np.sin(x * np.pi) + rs.uniform(0, 1 / 8, n)
    mysubplot(x, y, 3, 7, 20, (-1.5, 1.5), (-1.5, 1.5))

    xy1 = np.random.multivariate_normal([3, 3], [[1, 0], [0, 1]], int(n / 4))
    xy2 = np.random.multivariate_normal([-3, 3], [[1, 0], [0, 1]], int(n / 4))
    xy3 = np.random.multivariate_normal([-3, -3], [[1, 0], [0, 1]], int(n / 4))
    xy4 = np.random.multivariate_normal([3, -3], [[1, 0], [0, 1]], int(n / 4))
    xy = np.concatenate((xy1, xy2, xy3, xy4), axis=0)
    mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, 21, (-7, 7), (-7, 7))


plt.figure(figsize=(14, 7))
mvnormal(n=800)
rotnormal(n=200)
others(n=800)
# plt.tight_layout()
# plt.show()